普考申論題
105年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
五、計算下列不定積分： (一) $\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} dx$ 。（15 分） (二) $\int e^{2x} \cos 3x dx$ 。（15 分）
五、計算下列不定積分： (一) $\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} dx$ 。（15 分） (二) $\int e^{2x} \cos 3x dx$ 。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
$\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} dx$
思路引導 VIP
遇到被積分函數中含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的形式，應優先聯想到「三角代換法」，令 $x = a \sin \theta$ 來消去根號。接著運用半角公式降次進行積分，最後再利用直角三角形將變數 $\theta$ 轉回原變數 $x$ 即可求解。
小題 (二)
$\int e^{2x} \cos 3x dx$
思路引導 VIP
這是一題標準的「指數乘三角函數」積分題。看到此類題型，應立即聯想到使用『兩次分部積分法（Integration by Parts）』，並將兩次展開後出現的同型積分移項至等號同側，進而解出原積分式。