地特四等申論題 105年 [天文] 微積分

第一題

📖 題組：
計算下列積分：

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

∫ (5x^2 + 20x + 6) / (x^3 + 2x^2 + x) dx。(15 分)

觀察被積函數為真分數形式的有理函數，首先應將分母進行因式分解，接著利用「部分分式法（Partial Fraction Decomposition）」將其拆解為多個簡單的分式，最後再逐項進行積分即可求得答案。

🤖

AI 詳解

AI 專屬家教

【解題思路】利用部分分式展開法將有理函數拆解後逐項積分。【詳解】已知積分式：∫ (5x^2 + 20x + 6) / (x^3 + 2x^2 + x) dx

∫_0^π ∫_0^{sin x} (1 + cos x) dy dx。(15 分)

先觀察內層積分，因為被積函數只與 x 有關，對 y 積分相當於直接乘上界限 sin x。外層積分轉化為單變數積分後，透過簡單的變數代換（令 u = 1 + cos x）即可輕鬆求解。

🤖

AI 詳解

AI 專屬家教

【解題思路】先計算內層對 y 的定積分，由於被積函數與 y 無關，積分後將產生 sin x 的乘項。接著對外層 x 進行積分，可利用變數代換法求得最終結果。【詳解】已知：原積分式為 $\int_0^\pi \int_0^{\sin x} (1 + \cos x) dy dx$