普考申論題 107年 [天文] 微積分

第一題

📖 題組：
五、計算下列積分： (一) ∫_0^2 1 / (x^2 - 3x - 10) dx。（10 分） (二) ∬_R xy^2 dA，其中 R = {(x, y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4, x ≥ 0}。（15 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

∫_0^2 1 / (x^2 - 3x - 10) dx。

看到有理函數的積分，首先應檢查分母是否可以因式分解，並確認積分區間內無瑕點（奇異點）。接著使用「部分分式展開法」將複雜分式拆解為簡單的線性項，求出原函數後代入上下限，最後務必利用對數律將結果化至最簡。

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【解題思路】利用分母因式分解與部分分式展開法（Partial Fraction Decomposition）將有理函數簡化後進行定積分計算。【詳解】推導：

∬_R xy^2 dA，其中 R = {(x, y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4, x ≥ 0}。

觀察積分區域 R 為半個圓環（半徑 1 到 2 且 x ≥ 0），此類涉及圓的區域最適合使用極座標變換（Polar Coordinates）來簡化邊界條件。將 x、y 置換為 r、θ 後，留意雅可比行列式（Jacobian）需乘上 r，再將雙重積分拆解為對 r 與 θ 的兩項單變數積分即可求解。

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【解題思路】觀察積分區域為半圓環，利用極座標轉換（Polar Coordinates）簡化積分邊界與被積函數來求解。【詳解】已知：積分區域 R = {(x, y) | 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≥ 0}。