普考申論題
110年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
三、一個調頻（frequency modulation, FM）訊號可表示為： u(t) = A_c cos(2πf_c t + φ(t)) 其中 f_c 為載波頻率，φ(t)為相位訊號，表示為： φ(t) = 2πk_f ∫_(-∞)^t m(τ)dτ 其中m(t)為訊息信號（message signal）。（每小題 10 分，共 20 分）
三、一個調頻（frequency modulation, FM）訊號可表示為： u(t) = A_c cos(2πf_c t + φ(t)) 其中 f_c 為載波頻率，φ(t)為相位訊號，表示為： φ(t) = 2πk_f ∫_(-∞)^t m(τ)dτ 其中m(t)為訊息信號（message signal）。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
若φ(t)很小，證明u(t)可以近似為 u(t) ≅ A_c cos(2πf_c t) - A_c φ(t)sin(2πf_c t)。
思路引導 VIP
看到相位訊號很小的條件，應立刻聯想到小角度近似原理（cosθ ≈ 1, sinθ ≈ θ）。解題策略為先利用三角函數的「和角公式」將調頻訊號的引數展開，再代入小角度近似條件化簡，這正是通訊系統中推導窄頻調頻（NBFM）模型的標準起手式。
小題 (二)
根據(一)之近似結果，畫出 FM 調變器方塊圖。
思路引導 VIP
看到「近似結果」，首先應聯想到窄頻調頻（NBFM）的小角度近似條件 $|\phi(t)| \ll 1$。利用三角函數和角公式展開後，根據數學式 $u(t) \approx A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c \phi(t) \sin(2\pi f_c t)$ 逆推所需的硬體元件（積分器、相移器、乘法器及相加器），並依訊號流向將其連接即可完成方塊圖。