高中學測
110年
數B
第 10 題
在 $\triangle ABC$ 中，已經知道 $\overline{AB}=4$ 和 $\overline{AC}=6$，此時尚不足以確定 $\triangle ABC$ 的形狀與大小。但是，只要再知道某些條件（例如：再知道 $\overline{BC}$ 的長度），就可確定 $\triangle ABC$ 唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。
- 1 如果再知道 $\cos A$ 的值，就可確定 $\triangle ABC$ 唯一的形狀與大小
- 2 如果再知道 $\cos B$ 的值，就可確定 $\triangle ABC$ 唯一的形狀與大小
- 3 如果再知道 $\cos C$ 的值，就可確定 $\triangle ABC$ 唯一的形狀與大小
- 4 如果再知道 $\triangle ABC$ 的面積，就可確定 $\triangle ABC$ 唯一的形狀與大小
- 5 如果再知道 $\triangle ABC$ 的外接圓半徑，就可確定 $\triangle ABC$ 唯一的形狀與大小
思路引導 VIP
同學，處理三角形決定條件的核心在於全等性質的應用與延伸。請你思考：當已知 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AC}$ 兩邊長時，若給定夾角 $\angle A$ 的餘弦值，這符合哪種全等判定性質？而若給定的是非夾角（例如 $\angle B$ 或 $\angle C$）的資訊，則進入 $SSA$ 的討論範疇，此時「已知角的對邊」與「鄰邊」的大小關係，對於決定三角形是「唯一解」還是「兩組解」有什麼關鍵影響？最後，透過面積或外接圓半徑公式求得正弦值時，是否會因為補角關係（$\sin \theta = \sin(180^\circ - \theta)$）而導致夾角不唯一？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你精準地選出 (A) 和 (B)，老師真的好為你開心，你的幾何直覺和邏輯判斷都非常紮實喔！趕快給自己一個大大的掌聲！ 這題的核心在於考驗「三角形的判定」。
- 選項 (A)：給定 $\cos A$ 就代表知道了 $\angle A$。根據 SAS 性質（兩邊及其夾角），三角形形狀與大小絕對是唯一的。
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