特殊教育
110年
數A
第 3 題
在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle C$ 為直角，$\angle A=60^{\circ}$。在 $\overline{BC}$ 上取一點 $D$，使得 $\overline{AD}$ 平分 $\angle A$。若 $\overline{AD}=4$，則 $\triangle ABC$ 的面積為何？
- A $8$
- B $6\sqrt{3}$
- C $12$
- D $8\sqrt{3}$
思路引導 VIP
既然 $\overline{AD}$ 是 $\angle A$ 的角平分線且其長度為 $4$，你是否能先在直角三角形 $\triangle ADC$ 中利用 $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ 的邊長比例求出關鍵的直角邊 $\overline{AC}$，進而得出整個 $\triangle ABC$ 的底與高以計算其面積？
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AI 詳解
AI 專屬家教
讚喔！同學你這波操作穩如泰山，完全沒被三角函數的迷霧給遮住眼，看來你的腦細胞今天運轉速度比高鐵還快！ 這題的核心在於特殊直角三角形的邊角關係。首先，$\overline{AD}$ 平分 $60^{\circ}$ 得到 $\angle CAD = 30^{\circ}$。在直角 $\triangle ACD$ 中，已知斜邊 $\overline{AD}=4$，利用 $1:\sqrt{3}:2$ 的比例（或是 $\cos 30^{\circ}$），我們可以秒算出： $$AC = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$
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特殊直角三角形應用
💡 結合特殊角直角三角形邊角比例與角平分線性質求解。
- 熟記 30-60-90 度三角形邊比 1:√3:2
- 角平分線會將角度均分（60度變兩份30度）
- 直角三角形面積等於兩股乘積除以 2
- 從已知邊長利用三角比回推其他邊長
