高考申論題
110年
[機械工程] 流體力學
第 二 題
📖 題組：
三、二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下： \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p + \gamma z)}{\partial x} \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + w \frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p + \gamma z)}{\partial z} 其中 u 與 w 分別為 x（水平方向，向右為正）與 z（垂直方向，向上為正）二個方向的速度分量，t 為時間，\rho 為流體密度，p 為壓力，\gamma （= \rho g）為單位重，g 為重力加速度。一矩形（水平長 L，高 H）半滿油槽在固定水平加速度為 ax(>0)，及固定垂直加速度為 az(>0)作用下，並假定油槽內流體各位置之加速度皆相同。 (一)由以上公式推求油槽內液面坡度為何？（15 分） (二)油槽內最大壓力位於何處？其值為何？（10 分）
三、二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下： \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p + \gamma z)}{\partial x} \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + w \frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p + \gamma z)}{\partial z} 其中 u 與 w 分別為 x（水平方向，向右為正）與 z（垂直方向，向上為正）二個方向的速度分量，t 為時間，\rho 為流體密度，p 為壓力，\gamma （= \rho g）為單位重，g 為重力加速度。一矩形（水平長 L，高 H）半滿油槽在固定水平加速度為 ax(>0)，及固定垂直加速度為 az(>0)作用下，並假定油槽內流體各位置之加速度皆相同。 (一)由以上公式推求油槽內液面坡度為何？（15 分） (二)油槽內最大壓力位於何處？其值為何？（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
油槽內最大壓力位於何處？其值為何？（10 分）
思路引導 VIP
- 建立壓力場函數：
- 將上一小題獲得的全微分方程式 $dp = -\rho a_x dx - \rho (g + a_z) dz$ 進行積分。
小題 (一)
由以上公式推求油槽內液面坡度為何？（15 分）
思路引導 VIP
- 理解剛體運動與尤拉方程的簡化：
- 油槽做等加速度運動，液體各位置之加速度皆相同，意味著油槽內的液體處於相對靜止狀態（無相對滑動，即剛體運動 Rigid-body motion）。