高考申論題
109年
[水利工程] 流體力學
第 四 題
四、二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下：
-∂p/∂x = ρ(∂u/∂t + u ∂u/∂x + w ∂u/∂z)
-∂p/∂z - ρg = ρ(∂w/∂t + u ∂w/∂x + w ∂w/∂z)
其中u與w分別表示在x與z二個方向的速度分量，g為重力加速度，p為壓力，ρ為流體密度，t為時間。若考慮流場為穩定流（steady）、非旋性（irrotational）且流體具不可壓縮性，試推導出柏努利方程式（Bernoulli equation）為：p/ρ + 1/2(u^2 + w^2) + gz = 常數。（25分）
-∂p/∂x = ρ(∂u/∂t + u ∂u/∂x + w ∂u/∂z)
-∂p/∂z - ρg = ρ(∂w/∂t + u ∂w/∂x + w ∂w/∂z)
其中u與w分別表示在x與z二個方向的速度分量，g為重力加速度，p為壓力，ρ為流體密度，t為時間。若考慮流場為穩定流（steady）、非旋性（irrotational）且流體具不可壓縮性，試推導出柏努利方程式（Bernoulli equation）為：p/ρ + 1/2(u^2 + w^2) + gz = 常數。（25分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一題純理論推導題。看到要從尤拉方程式（Euler Eq.）推導出柏努利方程式（Bernoulli Eq.），關鍵在於將題目所給的三個假設條件（steady, irrotational, incompressible）逐一代入方程式中簡化。首先，利用穩定流條件，消去對時間的偏微分項（∂/∂t = 0）。其次，利用非旋性條件（旋度為0，即 ∂u/∂z = ∂w/∂x）來代換對流加速度項，將其整理成動能項的偏微分形式（例如 u∂u/∂x + w∂w/∂x 可化為 1/2 ∂(u²+w²)/∂x）。接著，將整理好的兩個方向方程式，分別乘上對應的微小位移 dx 與 dz 後相加。最後，利用全微分的定義（例如 dp = ∂p/∂x dx + ∂p/∂z dz）合併各項，再因流體不可壓縮（ρ為常數），直接積分即可得到常數的柏努利方程式。推導過程需邏輯嚴密，每一步都要說明套用了哪個假設。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【考點分析】 測驗考生對流體力學基本方程式之數學物理意義的掌握，尤其是從動量方程式（尤拉方程式）推導出能量守恆表示式（柏努利方程式）的理論過程。 【理論/法規依據】
▼ 還有更多解析內容
柏努利方程式推導
💡 從動量守恆尤拉方程式出發，透過流場假設積分導出能量守恆式。
🔗 柏努利方程式導引邏輯鏈
- 1 尤拉方程式 — 列出動量守恆原始式
- 2 穩定流簡化 — 令 $\partial/\partial t = 0$ 消除局部加速度項
- 3 非旋性代換 — 利用速度偏微分相等簡化對流項為 $\nabla(V^2/2)$
- 4 空間積分 — 對各項進行積分，得出能量守恆常數式
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若考慮黏滯力，則需由納維-斯托克斯方程式（N-S Equation）推導。
