高考申論題
110年
[水利工程] 流體力學
第 一 題
📖 題組：
二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下： $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p+\gamma z)}{\partial x}$ $\rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p+\gamma z)}{\partial z}$ 其中 u 與 w 分別為 x（水平方向，向右為正）與 z（垂直方向，向上為正）二個方向的速度分量，t 為時間，$\rho$ 為流體密度，p 為壓力，$\gamma(= \rho g)$為單位重，g 為重力加速度。一矩形（水平長 L，高 H）半滿油槽在固定水平加速度為 $a_x(>0)$，及固定垂直加速度為 $a_z(>0)$ 作用下，並假定油槽內流體各位置之加速度皆相同。
二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下： $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p+\gamma z)}{\partial x}$ $\rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial (p+\gamma z)}{\partial z}$ 其中 u 與 w 分別為 x（水平方向，向右為正）與 z（垂直方向，向上為正）二個方向的速度分量，t 為時間，$\rho$ 為流體密度，p 為壓力，$\gamma(= \rho g)$為單位重，g 為重力加速度。一矩形（水平長 L，高 H）半滿油槽在固定水平加速度為 $a_x(>0)$，及固定垂直加速度為 $a_z(>0)$ 作用下，並假定油槽內流體各位置之加速度皆相同。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
由以上公式推求油槽內液面坡度為何？（15 分）
思路引導 VIP
這是一道標準的「流體剛體運動（Rigid-body motion of fluids）」考題。解題關鍵在於理解題目給予的尤拉方程式，並將其簡化。因為流體相對於油槽是靜止的（無相對運動），因此空間加速度項（對流加速度 $u\frac{\partial u}{\partial x}$ 等）皆為 0。局部加速度即為給定的系統加速度：$\frac{\partial u}{\partial t} = a_x$ 及 $\frac{\partial w}{\partial t} = a_z$。將這兩點代入尤拉方程式求出壓力梯度 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial p}{\partial z}$，再利用全微分 $dp = \frac{\partial p}{\partial x}dx + \frac{\partial p}{\partial z}dz$，並套用自由液面等壓條件（$dp = 0$），即可求出液面坡度 $dz/dx$。
小題 (二)
油槽內最大壓力位於何處？其值為何？（10 分）
思路引導 VIP
這題需要延續上一題的結論來判斷。已知水平加速度 $a_x > 0$ (向右)，液面會向左傾斜，導致左側液面最高。同時，垂直加速度 $a_z > 0$ (向上) 使得有效重力加速度變為 $g+a_z$。根據流體靜力學概念，在加速度場中，壓力增加的方向是與等加速度向量反向的（也就是往下、往左）。因此，最深的點在左下角。首先要計算出左下角的水深（利用液面坡度、槽長 L 與半滿條件求出最高水位），再利用壓力公式 $p = \rho(g+a_z)h_{max}$ 求解。計算時需假設液面沒有溢出或暴露底床，否則需分段討論，但以國考題型通常可以直接用預設幾何條件計算。