高考申論題
109年
[機械工程] 流體力學
第 四 題
四、二維尤拉方程式（Euler equation）表示如下：
$-\frac{\partial p}{\partial x} = \rho(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial u}{\partial z})$
$-\rho g - \frac{\partial p}{\partial z} = \rho(\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z})$
其中u與w分別表示在x與z二個方向的速度分量，g為重力加速度，p為壓力，$\rho$為流體密度，t為時間。若考慮流場為穩定流（steady）、非旋性（irrotational）且流體具不可壓縮性，試推導出柏努利方程式（Bernoulli equation）為：$\frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}(u^2 + w^2) + gz = \text{常數}$。（25分）
$-\frac{\partial p}{\partial x} = \rho(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial u}{\partial z})$
$-\rho g - \frac{\partial p}{\partial z} = \rho(\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z})$
其中u與w分別表示在x與z二個方向的速度分量，g為重力加速度，p為壓力，$\rho$為流體密度，t為時間。若考慮流場為穩定流（steady）、非旋性（irrotational）且流體具不可壓縮性，試推導出柏努利方程式（Bernoulli equation）為：$\frac{p}{\rho} + \frac{1}{2}(u^2 + w^2) + gz = \text{常數}$。（25分）
📝 此題為申論題
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這是一道純公式推導題，考驗流體力學的基礎微積分操作。解題策略必須逐一對應題目給定的三個物理條件來簡化 Euler Equation：
- 穩定流 (steady)：這意味著對時間的偏微分項為零（$\partial / \partial t = 0$）。
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【考點分析】 本題測驗由納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes Equations）的無黏性簡化版——尤拉方程式（Euler Equation）出發，嚴謹推導柏努利方程式的能力。 【理論/法規依據】
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