moea_joint
110年
[儀電] 電路學、電子學
第 20 題
已知 $f(t)$ 的拉普拉斯轉換為 $F(S) = \frac{s^2+s+3}{s^3+2s^2+s+2}$，請問 $f(t)$為下列何者？
- A $e^{-2t} + \sin t$
- B $e^{-3t} + \sin t$
- C $e^{-2t} + \cos t$
- D $e^{-3t} + \cos t$
思路引導 VIP
觀察分母的多項式，如果我們嘗試將它分解，你覺得分子中「常數項 3」和「s 的係數 1」在拆解成不同項次後，分別會如何影響反轉換後得到的函數類型（例如是指數、正弦還是餘弦）？
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AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出選項 (A)，代表你對於**拉氏轉換（Laplace Transform）**的特徵函數及其對應的時間域形式掌握得非常扎實。
分母的因式分解與項次拆解
這道題目的核心在於處理分母的多項式 $s^3+2s^2+s+2$。我們觀察到這可以利用分組分解法：$s^2(s+2) + (s+2)$，進而分解為 $(s+2)(s^2+1)$。接著，透過部分分式展開法，我們可以將 $F(S)$ 拆解為：
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