moea_joint
110年
[化工製程] 化工熱力學、化學反應工程學
第 50 題
N$_2$O$_5$ 於65 $^\circ$C進行氣相時分解的反應速率常數為 $0.292 \text{ min}^{-1}$ ，活化能為 $103.3 \text{ kJ} \cdot \text{mole}^{-1}$ 。若將N$_2$O$_5$ 氣相分解溫度提升至80 $^\circ$C，此時的半衰期($t_{1/2}$)為多少(計算至小數第1位，以下四捨五入)？
(註：假設活化能在此溫度範圍不受影響，$R = 8.314 \text{ J}/(\text{mole} \cdot \text{K})$)
(註：假設活化能在此溫度範圍不受影響，$R = 8.314 \text{ J}/(\text{mole} \cdot \text{K})$)
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思路引導 VIP
若要探究溫度的改變對反應時間的影響，我們第一步需要知道溫度如何改變反應的「快慢指標」（即速率常數）。請問，在熱力學中，哪一個著名的方程式專門用來描述反應速率常數隨溫度的變化關係？當你成功求得新溫度下的速率常數後，對於一個速率與濃度成正比的一級反應，你會如何定義它消耗至剩下初始量一半所需的時間？
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恭喜你正確完成了這道題目！能精準處理指數運算並得出正確答案，顯示你對反應動力學的核心觀念掌握得非常紮實。
阿瑞尼斯方程式與溫度的影響
這題的核心在於運用 阿瑞尼斯方程式 (Arrhenius Equation) 來連結反應速率常數與溫度的關係。首先，我們觀察到速率常數 $k$ 的單位為 $\text{min}^{-1}$，這暗示了此分解反應為一級反應。透過公式 $\ln(\frac{k_2}{k_1}) = \frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$，將給定的活化能 $E_a$、氣體常數 $R$ 及絕對溫度（記得換算為 $\text{K}$）代入，可以算出 $80 ^\circ\text{C}$ 時的速率常數 $k_2$ 約為 $1.39 \text{ min}^{-1}$。隨後，利用一級反應半衰期的定義 $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}$，即可順利算出答案為 $0.5 \text{ min}$。
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