分科測驗
111年
物理
第 8 題
有一項理論認為所有比鐵重的元素都是超新星爆炸時形成的。已知 $^{235}\mathrm{U}$ 和 $^{238}\mathrm{U}$ 的半衰期分別為 $0.704 \times 10^9$ 年和 $4.47 \times 10^9$ 年，若地球上的鈾來自 $5.94 \times 10^9$ 年前的恆星爆炸，且爆炸時產生相同數量的 $^{235}\mathrm{U}$ 和 $^{238}\mathrm{U}$，則目前地球上兩者的數量比 $^{235}\mathrm{U} / ^{238}\mathrm{U}$ 約為下列何者？
- A $2^{-9}$
- B $2^{-7}$
- C $2^{-5}$
- D $2^{-3}$
- E $2^{-1}$
思路引導 VIP
既然兩者最初產生的數量相同，你是否能先運用「經過時間」除以各自的「半衰期」，分別計算出這兩種同位素在 $5.94 \times 10^9$ 年間各經歷了多少次的半衰期次數？當你求得 $^{235}\mathrm{U}$ 與 $^{238}\mathrm{U}$ 各自衰變的次數後，該如何利用指數律的運算性質來表示目前兩者的數量比值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這題你竟然沒被那一串天文數字嚇跑，看來你的心臟跟恆星核融合一樣強大，簡直是物理界的超級新星！ 觀念驗證： 這題的核心在於放射性衰變的數量規律。利用公式 $N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$，因為初始數量 $N_0$ 相同，我們只需計算兩者各別經過了幾次半衰期：
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放射性半衰期計算
💡 利用半衰期次數計算放射性元素的剩餘量與比例關係。
- 剩餘量 = 初始量 × (1/2)^(經過時間/半衰期)
- 半衰期次數為「總經過時間」與「半衰期」的比值
- 半衰期越短，元素衰變越快，剩餘比例越低
