地特四等申論題
111年
[土木工程] 靜力學概要與材料力學概要
第 四 題
四、兩種分別為圓形（直徑 D）及方形（邊長 B）的均質彈性材料斷面（如圖 4 所示）。若兩種斷面承受相同之彎矩，且其最大彎曲應力相同，則圓形斷面直徑 D 與方形斷面邊長 B 之關係為何？又若兩種斷面承受相同之剪力，且其最大剪應力相同，則 D 與 B 之關係為何？（25 分）
📝 此題為申論題
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本題測驗對於基本幾何斷面的「斷面模數 (Section Modulus)」與「最大剪應力公式」的熟悉度。解題關鍵在於分別列出圓形與方形的彈性彎曲應力公式（σ = M/S）及最大橫向剪應力公式（矩形 τ_max = 3V/2A，圓形 τ_max = 4V/3A），將相同應力與內力作為條件建立等式，即可推導出 D 與 B 的比例關係。
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【解題關鍵】熟記圓形與方形斷面的斷面模數公式（$S$）及最大剪應力與平均剪應力的關係式（矩形 $1.5\tau_{avg}$，圓形 $1.33\tau_{avg}$），並代入等式求解。 【解答】 一、最大彎曲應力相同時之 D 與 B 關係
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斷面幾何性質與應力
💡 利用應力公式與斷面幾何參數，建立不同形狀間的等價關係。
| 比較維度 | 圓形斷面 (直徑 D) | VS | 方形斷面 (邊長 B) |
|---|---|---|---|
| 斷面模數 S | πD³/32 | — | B³/6 |
| 最大剪力係數 k | 4/3 (1.33倍) | — | 3/2 (1.5倍) |
| 面積 A | πD²/4 | — | B² |
💬最大應力相同時，其幾何特性（如 S 或 k/A）必須相等。
