普考申論題
111年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
五、令 x 是經過取樣後的訊號值，-1 ≤ x ≤ 1，y 是 x 經過量化的訊號值， d = |x - y| 為量化誤差絕對值，且 x 與 y 的關係如下所示： y = 0.75, if 0.5 ≤ x ≤ 1 y = 0.25, if 0 ≤ x < 0.5 y = -0.25, if -0.5 ≤ x < 0 y = -0.75, if -1 ≤ x < -0.5 也就是說，在-1與1 之間的四個量化間隔是相等的。（每小題 5 分，共 20 分） （一）請問 d 的值最大為何？ （二）若 x 的值在-1與 1 之間是等機率密度，則 d 的期望值 E 為何？ （三）承（二），若 x 值在-1與 0 之間的分布是等機率密度 p₁ ，在 0 與 1 之間的分布也是等機率密度 p₂ ，且 p₁ >> p₂ ，請問 d 的期望值 E' 為何？ （四）承（三），若要降低 E' ，請問該如何調整 x 與 y 的關係？
五、令 x 是經過取樣後的訊號值，-1 ≤ x ≤ 1，y 是 x 經過量化的訊號值， d = |x - y| 為量化誤差絕對值，且 x 與 y 的關係如下所示： y = 0.75, if 0.5 ≤ x ≤ 1 y = 0.25, if 0 ≤ x < 0.5 y = -0.25, if -0.5 ≤ x < 0 y = -0.75, if -1 ≤ x < -0.5 也就是說，在-1與1 之間的四個量化間隔是相等的。（每小題 5 分，共 20 分） （一）請問 d 的值最大為何？ （二）若 x 的值在-1與 1 之間是等機率密度，則 d 的期望值 E 為何？ （三）承（二），若 x 值在-1與 0 之間的分布是等機率密度 p₁ ，在 0 與 1 之間的分布也是等機率密度 p₂ ，且 p₁ >> p₂ ，請問 d 的期望值 E' 為何？ （四）承（三），若要降低 E' ，請問該如何調整 x 與 y 的關係？
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請問 d 的值最大為何？
思路引導 VIP
量化誤差 d 是輸入值 x 與量化值 y 的距離。本題是均勻量化，步階 Δ = 0.5。最大誤差通常發生在量化區間的邊界處。
小題 (二)
若 x 的值在-1與 1 之間是等機率密度，則 d 的期望值 E 為何？
思路引導 VIP
期望值 E = ∫ d * f(x) dx。由於對稱性，我們只需計算一個區間（例如 [0, 0.5]）內的平均誤差，結果會與全區間相同。在 [0, 0.5] 內，x 是均勻分布，其機率密度在此區間內為常數。
小題 (三)
承（二），若 x 值在-1與 0 之間的分布是等機率密度 p₁ ，在 0 與 1 之間的分布也是等機率密度 p₂ ，且 p₁ >> p₂ ，請問 d 的期望值 E' 為何？
思路引導 VIP
當 p₁ >> p₂ 時，代表幾乎所有的 x 都落在 [-1, 0] 區間。此時 E' 會被 p₁ 區域的誤差主導。在 [-1, 0] 內，x 的分布依然是局部的均勻分布。
小題 (四)
承（三），若要降低 E' ，請問該如何調整 x 與 y 的關係？
思路引導 VIP
這考的是「非均勻量化 (Non-uniform Quantization)」的原理。當信號在某些區域出現機率較高時（如本題的 x < 0），應在該區域分配「較細」的量化間隔，而在機率低的區域分配「較粗」的間隔，以降低整體平均誤差。