高考申論題
111年
[機械工程] 自動控制
第 三 題
📖 題組：
對於如一單位負回授系統，輸入為單位步階函數（unit step function）： [方塊圖描述：R(s) -> (+) -> E(s) -> 控制器 K(s+z)/(s+p) -> 受控體 5/(s^2+10s-100) -> C(s)，回授為單位負回授] (一) 於 p = z 時，穩定條件為何？自然振頻（natural frequency）ωn 為多少赫茲（Hz）？阻尼比（damping ratio）ξ 為何？其 2% 安定時間（settling time）ts = 4.5 / (ξωn) 為多少秒？（10 分） (二) 於 z = 1 且 p = 2 時，該系統之穩定條件為何？（10 分） (三) 於 z = 1 且 p = 2 時，該控制器之名稱為何？其穩態誤差 ess(t) 為何？（5 分）
對於如一單位負回授系統，輸入為單位步階函數（unit step function）： [方塊圖描述：R(s) -> (+) -> E(s) -> 控制器 K(s+z)/(s+p) -> 受控體 5/(s^2+10s-100) -> C(s)，回授為單位負回授] (一) 於 p = z 時，穩定條件為何？自然振頻（natural frequency）ωn 為多少赫茲（Hz）？阻尼比（damping ratio）ξ 為何？其 2% 安定時間（settling time）ts = 4.5 / (ξωn) 為多少秒？（10 分） (二) 於 z = 1 且 p = 2 時，該系統之穩定條件為何？（10 分） (三) 於 z = 1 且 p = 2 時，該控制器之名稱為何？其穩態誤差 ess(t) 為何？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
於 z = 1 且 p = 2 時，該控制器之名稱為何？其穩態誤差 ess(t) 為何？（5 分）
思路引導 VIP
首先比較 z 與 p 的大小。因為 z = 1 < p = 2，代表零點比極點更靠近虛軸，這具有領先（Lead）補償的效果，或是判斷其相位貢獻。接著計算穩態誤差。這是一個單位步階輸入（Type 0 系統？），根據終值定理計算 ess = 1 / (1 + Kp)，其中 Kp 是靜態位置誤差常數。
小題 (一)
於 p = z 時，穩定條件為何？自然振頻（natural frequency）ωn 為多少赫茲（Hz）？阻尼比（damping ratio）ξ 為何？其 2% 安定時間（settling time）ts = 4.5 / (ξωn) 為多少秒？（10 分）
思路引導 VIP
當 p = z 時，控制器的零點與極點抵銷，系統簡化為比例控制。首先列出特徵方程式 1 + G(s) = 0。應用勞斯準則（Routh-Hurwitz）或直接觀察二階系統係數來判定穩定條件（所有係數必須大於零）。接著將特徵方程式標準化為 s^2 + 2ξωn s + ωn^2 = 0，對應係數求出 ωn 與 ξ。最後代入題目給定的 ts 公式。注意題目要求 ωn 的單位是 Hz，需將 rad/s 轉換為 Hz (f = ω/2π)。
小題 (二)
於 z = 1 且 p = 2 時，該系統之穩定條件為何？（10 分）
思路引導 VIP
此時系統變為三階。第一步是求出閉迴路特徵方程式 1 + [K(s+1)/(s+2)] * [5/(s^2+10s-100)] = 0。展開後整理成 s^3 + ... 的多項式。第二步是列出勞斯表（Routh Table）。根據第一行元素符號必須全部相同（且大於 0）的原則，推導出 K 的範圍。