高考申論題
111年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
在某大學所進行的某滿意度調查中，樣本為以簡單隨機抽樣取出不放回所選擇出的 n = 400 位大學部學生，該校大學部學生共 5000 名，400 位學生依其年級分類及各年級滿意樣本比例整理如下表： | | 大一 | 大二 | 大三 | 大四 | |---|---|---|---|---| | 樣本數（$x_i$） | 200 | 100 | 50 | 50 | | 滿意比例（$p_i$） | 0.4 | 0.8 | 0.8 | 0.8 | 則全體學生滿意比例之不偏估計為 $\frac{200 \cdot 0.4 + 100 \cdot 0.8 + 50 \cdot 0.8 + 50 \cdot 0.8}{400} = 0.6$
在某大學所進行的某滿意度調查中，樣本為以簡單隨機抽樣取出不放回所選擇出的 n = 400 位大學部學生，該校大學部學生共 5000 名，400 位學生依其年級分類及各年級滿意樣本比例整理如下表： | | 大一 | 大二 | 大三 | 大四 | |---|---|---|---|---| | 樣本數（$x_i$） | 200 | 100 | 50 | 50 | | 滿意比例（$p_i$） | 0.4 | 0.8 | 0.8 | 0.8 | 則全體學生滿意比例之不偏估計為 $\frac{200 \cdot 0.4 + 100 \cdot 0.8 + 50 \cdot 0.8 + 50 \cdot 0.8}{400} = 0.6$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
根據註冊組提供之資料，該校大學部學生之各年級比例如下：
| | 大一 | 大二 | 大三 | 大四 |
|---|---|---|---|---|
| 母體比例（$Q_i$） | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
請檢定在 $\alpha = 0.05$ 之水準下樣本比例與母體比例是否相符（請參考下表之卡方分配 95%百分位數）。（5 分）
| 自由度 | 1 | 5 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| $\chi^2_{0.95}$ | 3.84 | 11.07 | 18.31 | 31.41 |
思路引導 VIP
- 辨識問題類型：這是一個典型比例檢定問題，具體為「卡方適合度檢定 (Goodness-of-Fit Test)」，判斷樣本結構是否與母體結構一致。
- 建立檢定假設：$H_0$: 樣本比例等於母體比例；$H_1$: 至少有一個不相等。
小題 (二)
根據子題(一)之結論，請問滿意度 0.6 的結果是否應加以修正？請敘明理由，若您認為需要修正，請提供修正後之母體比例。（10 分）
思路引導 VIP
- 判斷必要性：既然 (一) 證明了樣本結構不具母體代表性（大一學生太多，且大一滿意度偏低），直接計算的總平均 0.6 會被大一的低滿意度拉低。因此必須修正。
- 選擇修正方法：採用「事後分層 (Post-stratification)」估計法。雖然抽樣時是 SRS，但分析時應將各層樣本比例依「母體實際比例」重新加權。