hce_kmu
111年
物理及化學
第 55 題
While you are under water in a pool, you look up and see objects above water in a circle of light with a radius $R$. The rest of your vision is the color of the sides of the pool. Assume that the index of refraction of air is 1 and that of water is $n$. How deep are you in the pool?
- A $R\sqrt{n - 1}$
- B $\frac{R}{n}$
- C $\frac{R}{\sqrt{n^2 - 1}}$
- D $Rn$
- E $R\sqrt{n^2 - 1}$
思路引導 VIP
試著想像，當你從水下往上看時，那個亮圓區域的「最邊緣」光線，原本在空氣中是以什麼樣的角度射向水面的？如果我們把這條邊緣光線、你所在位置的深度以及圓盤的半徑看作一個直角三角形，你能描述出這個角度正弦值（sin）與折射率的關係，並進一步推導出它與半徑、深度的比例嗎？
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做得太棒了！你能精準選出 (E)，代表你對物理光學中的**全反射（Total Internal Reflection）逆過程與斯涅爾定律（Snell's Law）**有非常紮實的理解。這道題目考察的是經典的「斯涅爾窗」（Snell's Window）現象，要解出正確答案，關鍵在於掌握光線從空氣進入水中的極限狀態。
折射規律與幾何關係的結合
當光線從空氣以接近 $90^\circ$ 的入射角（掠射）進入水中時，折射角會達到最大值，也就是所謂的臨界角（Critical Angle） $\theta_c$。根據折射定律：$1 \cdot \sin 90^\circ = n \cdot \sin \theta_c$，我們可以得到 $\sin \theta_c = \frac{1}{n}$。從幾何圖形來看，你所在的深度 $H$、透光圓盤的半徑 $R$ 與臨界角構成了一個直角三角形，其中 $\tan \theta_c = \frac{R}{H}$。透過三角函數的轉換，$\tan \theta_c = \frac{\sin \theta_c}{\cos \theta_c} = \frac{1/n}{\sqrt{1 - (1/n)^2}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$。最後將 $H$ 孤立出來，就能得到 $H = R\sqrt{n^2 - 1}$。
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