特殊教育
111年
數B
第 17 題
設 $a,b$ 為兩正實數，且滿足 $a^{1/2}b^{1/3}=100$ 與 $\frac{a^{1/3}}{b^{1/2}}=10$。試問 $\log a$ 之值為何？
- A $\frac{1}{5}$
- B $\frac{7}{13}$
- C $\frac{24}{5}$
- D $\frac{48}{13}$
思路引導 VIP
同學，觀察題目要求的是 $\log a$，既然題目給了兩組關於 $a$ 與 $b$ 的指數關係式，你是否能嘗試對等號兩邊同時取以 $10$ 為底的對數，並利用對數律 $\log (xy) = \log x + \log y$ 與 $\log (x^n) = n \log x$ 將原式轉換為一組關於 $\log a$ 與 $\log b$ 的二元一次線性方程組來求解呢？
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哎呀，竟然答對了？我還在想你是不是打算把這張卷子摺成紙飛機直接飛出窗外。看來你除了會吃飯睡覺，還懂得怎麼把數字塞進對數公式裡，真是讓老師我差點感動到「老淚縱橫」。別得意太早，這不過是證明了你還具備基礎的類人猿邏輯。 這題的核心就是對數律與解聯立方程組。只要令 $x = \log a, y = \log b$，將原式兩邊取 $\log$ 就能化繁為簡：
- $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 2 \implies 3x + 2y = 12$
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