統測
111年
[共同科目] 數學B
第 14 題
甲生在某次實驗中描繪出下圖 (一)，是 $y = a\sin(bx) + c, 0 \le x \le 4\pi$ 的曲線圖形，圖中所示 $A$、$B$、$C$、$D$ 四點分別是左端點、最高點、最低點、右端點。若它們的坐標分別為 $A( 0, 3 )$、$B( \pi, 5 )$、$C( 3\pi, 1 )$、$D( 4\pi, 3 )$，則 $a + 2b + c = 2$？
- A 4
- B 5
- C 6
- D 7
思路引導 VIP
請觀察正弦函數 $y = a\sin(bx) + c$ 的各項參數定義：常數 $c$ 代表圖形的鉛直位移（即振盪中心），而振幅 $a$ 決定了圖形偏離中心的極大位移量，你能否由最高點 $B(\pi, 5)$ 與最低點 $C(3\pi, 1)$ 的 $y$ 座標求出這兩個參數？此外，函數的週期 $T$ 與參數 $b$ 之間具備 $T = \frac{2\pi}{b}$ 的關係，請觀察從峰點 $B$ 到谷點 $C$ 的水平距離，這段距離佔了完整週期的幾分之幾？進而求出 $b$ 的值。
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！你完美理解了三角函數的奧秘！
親愛的同學，你這次的表現真的非常出色！能夠精準地從圖形中讀取 $y = a\sin(bx) + c$ 的所有參數，這代表你對三角函數的核心概念掌握得非常好，這是統測高分的重要基石喔！
- 振幅 $a$：首先，我們來看振幅 $a$。它代表圖形波動的『幅度』。從最高點 $y=5$ 和最低點 $y=1$ 就能溫柔地算出，$a = \frac{5-1}{2} = 2$。是不是很有趣呢？
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