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moea_joint_essay 111年 [機械] 熱力學與熱機學、流體力學與流體機械

第 二 題

📖 題組：
如【圖 4】所示，一穩態(Steady)、完全發展(Fully developed)、層流(Laminar)之圓形截面水平管道中為水之流動，其沿著管道方向之速度分布 u 呈現軸對稱(Axi-symmetric)，且僅與 r 相關。已知其中心軸(r = 0)之流速為 0.01 m/s，且速度分布在任一截面均為拋物線分布，請計算下列各項(計算至小數點後第 3 位，以下四捨五入)。（3 題，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (二)

已知水之運動黏滯係數(Kinematic viscosity)為 10^-6 m2/s，請證明前述流況確屬為層流之形式。（5 分）
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計算管流之雷諾數 (Reynolds number)，若其值小於臨界雷諾數 (通常為 2300)，即可證明此流況為層流。

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圓管之直徑 $D = 0.2 \text{ m}$，平均流速 $V = 0.005 \text{ m/s}$，運動黏滯係數 $\nu = 10^{-6} \text{ m}^2\text{/s}$。 計算雷諾數 (Reynolds Number)： $Re = \frac{V D}{\nu} = \frac{0.005 \times 0.2}{10^{-6}} = \frac{0.001}{10^{-6}} = 1000$

小題 (一)

此截面之平均流速為多少 m/s？（5 分）
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對於圓管內完全發展之層流（拋物線速度分佈），平均流速恰好為中心最大流速的一半。

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已知圓管中為完全發展之層流，速度分佈呈拋物線形，其分佈方程式為 $u(r) = u_{max} [1 - (r/R)^2]$。 在此分佈下，管內平均流速 $V$ 為中心最大流速 $u_{max}$ 之一半。 $V = \frac{u_{max}}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005 \text{ m/s}$

小題 (三)

依據力平衡，求①與②之壓力差為多少 N/m2？（10 分）
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透過哈根-帕醉方程式 (Hagen-Poiseuille equation) 或壁面剪應力做力平衡計算兩斷面之壓力降。需先由運動黏滯係數乘上水密度求得動力黏滯係數。

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假設水之密度 $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$。 動力黏滯係數 $\mu = \rho \nu = 1000 \times 10^{-6} = 10^{-3} \text{ N}\cdot\text{s/m}^2$。 由 Hagen-Poiseuille 方程式計算壓力降：

📝 圓管層流判定準則
💡 利用中心流速與平均流速關係計算雷諾數並判定流況

🔗 層流性質證明答題流程

  1. 1 流速轉換 — 圓管層流平均流速 V = u_max / 2
    2. ↓
  2. 2 公式代入 — 將 D, V, ν 代入 Re = VD/ν 計算
    3. ↓
  3. 3 臨界比較 — 將計算結果與臨界值 2300 進行比對
    4. ↓
  4. 4 最終結論 — 說明 Re < 2300 故確屬層流
🔄 延伸學習：延伸學習：若 Re > 4000 則通常判定為湍流（紊流）。
🧠 記憶技巧：中心折半求均速，VD除紐得Re，二三零零層流判。
⚠️ 常見陷阱：最常犯錯是在計算雷諾數時，直接拿中心流速代入而非平均流速，導致 Re 誤差兩倍。
哈根-泊肅葉定律 邊界層發展長度 湍流臨界雷諾數

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