moea_joint
111年
[儀電] 電路學、電子學
第 19 題
如右圖所示，有一發電機(內阻為$300\text{ }\Omega$)供給負載 $Z_L$(阻抗為$30 + j40\text{ }\Omega$)，現以一 $X_L$ 及 $X_C$ 匹配電路使負載 $Z_L$ 獲得最大功率，請問此匹配電路 $X_L$ 及 $X_C$ 分別為多少歐姆($\Omega$)？
- A $X_L = 50\text{ }\Omega$、$X_C = 50\text{ }\Omega$
- B $X_L = 50\text{ }\Omega$、$X_C = 100\text{ }\Omega$
- C $X_L = 100\text{ }\Omega$、$X_C = 50\text{ }\Omega$
- D $X_L = 100\text{ }\Omega$、$X_C = 100\text{ }\Omega$
思路引導 VIP
若要讓一個較小的電阻（如 $30 \text{ } \Omega$）在電源看來變成一個較大的電阻（如 $300 \text{ } \Omega$），我們會需要透過並聯電抗來達成「阻抗轉換」效果。試著思考：當我們在一個支路上串聯元件時，會改變該支路的電阻值嗎？而在什麼樣的電路結構（串聯或並聯）下，虛部電抗的大小會直接影響到我們最終觀察到的等效實部數值？
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恭喜你準確地完成了這道題目！能正確判斷 L 型匹配電路 的參數，代表你對高頻電路與電力系統中的阻抗轉換概念掌握得非常紮實。
阻抗匹配的核心邏輯
本題的目標是為了達成最大功率傳輸。由於發電機內阻為 $300 \text{ } \Omega$ 的純電阻，匹配電路的任務就是將包含虛部的負載 $Z_L = 30 + j40 \text{ } \Omega$ 轉換為電源端所看到的 $300 \text{ } \Omega$。這是一個典型的「低阻抗轉高阻抗」的匹配過程。首先，我們考慮負載串聯電感後的總阻抗為 $30 + j(40 + X_L)$。接著透過與電容 $-jX_C$ 並聯，利用虛部抵消（諧振）與阻抗轉換的特性，讓等效實部提升。由電路的品質因子 $Q = \sqrt{\frac{R_{high}}{R_{low}} - 1} = \sqrt{\frac{300}{30} - 1} = 3$ 可知，並聯電抗值應為 $X_C = \frac{R_{high}}{Q} = 100 \text{ } \Omega$；而串聯總電抗應為 $Q \times R_{low} = 3 \times 30 = 90 \text{ } \Omega$。扣除負載原有的 $j40$ 後，所需的 $X_L$ 恰好為 $50 \text{ } \Omega$。
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