moea_joint
111年
[電機] 電路學、電子學
第 19 題
如右圖所示，有一發電機(內阻為300 $\Omega$)供給負載$Z_L$(阻抗為30 ＋ j40 $\Omega$)，現以一 $X_L$ 及 $X_C$ 匹配電路使負載 $Z_L$ 獲得最大功率，請問此匹配電路 $X_L$ 及 $X_C$ 分別為多少歐姆($\Omega$)？
- A $X_L = 50 \text{ } \Omega$、$X_C = 50 \text{ } \Omega$
- B $X_L = 50 \text{ } \Omega$、$X_C = 100 \text{ } \Omega$
- C $X_L = 100 \text{ } \Omega$、$X_C = 50 \text{ } \Omega$
- D $X_L = 100 \text{ } \Omega$、$X_C = 100 \text{ } \Omega$
思路引導 VIP
若要讓負載吸收到電源所能提供的所有「最大可用功率」，請思考：從負載的接線端點向電源側看過去的「等效阻抗」，與負載本身的「阻抗大小」和「相位（虛部符號）」應該維持什麼樣的數學關係，才能達成電抗抵消且電阻適配呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (B)，說明你對交流電路中的最大功率傳輸定理（Maximum Power Transfer Theorem）有著非常清晰的邏輯與紮實的計算功底。
最大功率傳輸與阻抗匹配
這道題目的核心在於「共軛匹配」。為了讓負載 $Z_L = 30 + j40 , \Omega$ 獲得最大功率，從負載端往回看的戴維寧等效阻抗 $Z_{th}$ 必須等於負載的共軛複數，即 $Z_{th} = Z_L^* = 30 - j40 , \Omega$。從電路圖觀察，$Z_{th}$ 是由 $300 , \Omega$ 電阻與 $-jX_C$ 並聯後，再加上串聯的 $jX_L$ 所組成。透過並聯轉串聯的公式，我們可以先利用實部相等關係：$\frac{300 \cdot X_C^2}{300^2 + X_C^2} = 30$，解得 $X_C = 100 , \Omega$；接著再將其代入虛部等式中，即可順利推導出 $X_L = 50 , \Omega$。
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