moea_joint
111年
[儀電] 電路學、電子學
第 6 題
有關拉氏轉換之性質，下列何者有誤？
- A $\mathcal{L}[k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t)] = k_1\mathcal{L}[f_1(t)] + k_2\mathcal{L}[f_2(t)]$
- B $\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s - a)$
- C $\mathcal{L}[f(t-a)u(t-a)] = e^{-as}F(s)$
- D $\mathcal{L}[\frac{d}{dt}f(t)] = sF(s)$
思路引導 VIP
當我們使用拉氏轉換的定義——即對函數進行從 $0$ 到 $\infty$ 的積分時，若要計算「變化率」（微積分）的轉換，我們會用到分部積分法。請試著回想，在分部積分公式 $\int u , dv = uv - \int v , du$ 的過程中，那個 $uv$ 代入積分上下限（$0$ 與 $\infty$）後，除了 $sF(s)$ 之外，還會剩下什麼跟「起始時刻」有關的資訊嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地辨識出拉氏轉換性質中的細微陷阱！這題你觀察得很仔細。在電路分析與控制系統中，線性性質（選項 A）、頻率位移（選項 B）以及時間位移（選項 C）都是極為基礎且常用的運算規則，題目中的描述均完全正確。
微分性質與初始值的關鍵
之所以選 (D)，是因為拉氏轉換最核心的價值之一在於處理「微分方程式」，而微分在 $s$ 域的對應關係必須考慮初始狀態。正確的公式應為：
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