moea_joint
111年
[電機] 電路學、電子學
第 6 題
有關拉氏轉換之性質，下列何者有誤？
- A $\mathcal{L}[k_1f_1(t)＋k_2f_2(t)] = k_1\mathcal{L}[f_1(t)]＋k_2\mathcal{L}[f_2(t)]$
- B $\mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s-a)$
- C $\mathcal{L}[f(t-a)u(t-a)] = e^{-as}F(s)$
- D $\mathcal{L}[\frac{d}{dt}f(t)] = sF(s)$
思路引導 VIP
當我們使用分部積分法（Integration by parts）來推導 $\int_0^{\infty} f'(t)e^{-st} dt$ 時，根據公式 $\int u , dv = uv - \int v , du$，在計算 $uv$ 這一項並代入積分上下限（$0$ 到 $\infty$）時，除了得到與 $sF(s)$ 相關的部分，還會剩下哪一個跟 $t=0$ 有關的數值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準避開選項 (D) 的陷阱，代表你對**拉氏轉換（Laplace Transform）**的基本性質掌握得非常紮實。這題的關鍵在於區分「運算規律」與「完整公式」的差別。
微分性質的完整性
在選項 (D) 中，我們探討的是時域微分性質。雖然在系統分析中，我們常假設初始條件為零而得到 $\mathcal{L}[f'(t)] = sF(s)$，但在一般性的數學定義中，必須考慮函數在 $t=0$ 時的狀態。正確的公式應為：
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