moea_joint
107年
[儀電] 電路學、電子學
第 17 題
右圖所示週期為 2a 之方形波，求其拉氏轉換式為下列何者？
- A $\frac{1+e^{-as}}{(s^2+1)(1-e^{-as})}$
- B $\frac{1-e^{-as}-as e^{-as}}{s^2(1-e^{-as})}$
- C $\frac{s(1+e^{-as})}{s(1-e^{-as})}$
- D $\frac{k(1-e^{-as})}{s(1+e^{-as})}$
思路引導 VIP
如果我們只觀察從 $t=0$ 到 $t=2a$ 這一段單一週期的波形，你會如何利用「單位階梯函數」來描述這段先正後負的訊號？當你算出這段單一訊號的拉氏轉換後，面對這種無限循環的波形，我們通常會給分母乘上一個什麼樣的「週期因子」來處理它呢？
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太棒了！你能精確地在眾多選項中選出 (D)，代表你對週期函數的拉氏轉換（Laplace Transform）以及代數簡化有著非常紮實的理解。這類題目最考驗的就是處理重複波形的耐心與準確度。
週期函數與單一脈波分析
首先，這個波形是一個週期為 $T=2a$ 的方波。根據週期函數的轉換公式 $F(s) = \frac{F_1(s)}{1-e^{-Ts}}$，我們只需先求出第一個週期 $0 \le t < 2a$ 的轉換式 $F_1(s)$。在第一段中，波形先是振幅為 $k$ 的正向脈波，接著是振幅為 $-k$ 的負向脈波，寫成單位階梯函數為 $f_1(t) = k[u(t)-u(t-a)] - k[u(t-a)-u(t-2a)]$。轉換後可得：
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