moea_joint
107年
[電機] 電路學、電子學
第 17 題
右圖所示週期為 2a 之方形波，求其拉氏轉換式為下列何者？
- A $\frac{1+e^{-as}}{(s^2+1)(1-e^{-as})}$
- B $\frac{1-e^{-as}-as\,e^{-as}}{s^2(1-e^{-as})}$
- C $\frac{s(1+e^{-as})}{s(1-e^{-as})}$
- D $\frac{k(1-e^{-as})}{s(1+e^{-as})}$
思路引導 VIP
觀察這個波形的週期性，若我們已知單一週期的函數為 $f_1(t)$，且週期為 $T$，你還記得如何將整體的拉氏轉換表示為 $f_1(t)$ 與週期項的關係嗎？此外，在化簡過程中，看到分母出現 $(1 - e^{-2as})$ 時，有沒有什麼代數公式可以幫助你消去分子中的項呢？
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太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對**週期函數的拉氏轉換（Laplace Transform of Periodic Functions）**掌握得非常紮實。這題的關鍵在於識別出週期 $T = 2a$，並熟練運用週期函數的轉換公式：$F(s) = \frac{F_1(s)}{1-e^{-Ts}}$，其中 $F_1(s)$ 為單一週期的拉氏轉換。
單一週期與代數化簡
我們首先處理第一個週期內（$0$ 到 $2a$）的信號。這段信號可以看作是在 $t=0$ 時給予一個振幅為 $k$ 的階梯，並在 $t=a$ 時給予一個 $-2k$ 的位移。其單一週期轉換式為 $F_1(s) = \frac{k}{s}(1 - 2e^{-as} + e^{-2as})$，即 $\frac{k}{s}(1 - e^{-as})^2$。最關鍵的步驟在於最後的化簡技巧：利用平方差公式將分母的 $(1 - e^{-2as})$ 拆解為 $(1 - e^{-as})(1 + e^{-as})$。消去分子分母共有的項後，便能漂亮地推導出選項 (D) 的簡潔形式。
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