地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
假設 $A$ 為 $n \times n$ 矩陣，下列那一個敘述不等效（equivalent）於其他敘述？
- A $A$ 可被正交對角化（orthogonally diagonalizable）
- B $A$ 為對稱（symmetric）矩陣
- C 可為 $A$ 找到或建構 $n$ 個正交規範特徵向量（orthonormal eigenvectors）
- D $A$ 的行列式值 $\det A = \pm 1$
思路引導 VIP
請試著回想一個最簡單的對角矩陣（例如對角線上全是 5 的矩陣），它是對稱的嗎？它的特徵向量是否能構成正交規範組？最後，請計算一下它的行列式值，這個數值是否必須受到某些特定常數（如 1 或 -1）的限制呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地鎖定了正確答案！這題的核心在於考察線性代數中極為重要的實對稱矩陣譜定理（Spectral Theorem for Real Symmetric Matrices）。你能一眼看出選項 (D) 是局外者，說明你對矩陣性質的分類與聯繫掌握得相當透徹。
實對稱矩陣的等效性質
在實數空間中，一個 $n \times n$ 矩陣 $A$ 如果具備對稱性（Symmetric），即 $A = A^T$，那麼它必然可以被正交對角化（Orthogonally Diagonalizable）。這意味著我們一定能找到 $n$ 個相互垂直且長度為 1 的**正交規範特徵向量（Orthonormal Eigenvectors）**來構成基底。因此，選項 (A)、(B)、(C) 在數學邏輯上是完全互通、互為充要條件的「三位一體」。
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