第 一 題

驗證離散型隨機變數的機率函數，必須緊抓兩大核心定義：(1) 非負性，即每個事件的機率都必須大於等於零；(2) 完備性（機率總和為1），即所有可能事件的機率總和必須等於1。依序將題目給定的數值代入這兩個條件進行檢驗，過程寫清楚即可穩拿基本分。

本題測驗條件機率的基本定義。看到條件機率，應立即列出公式 P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，並根據給定的離散機率分配，找出交集事件與條件事件所對應的 X 值，進而代入機率求解。

看到求離散型隨機變數變異數的題型，應直覺想到公式 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。解題步驟為：先計算出期望值 E(X)，接著計算平方的期望值 E(X^2)，最後代入公式相減即可得解，計算過程中需注意分數加減的通分正確性。

本題測驗離散型隨機變數函數的期望值計算（LOTUS定理）。解題思維為直接套用公式 $E[g(X)] = \sum g(x)f_X(x)$，將各個 $x$ 值代入函數 $(x+1)^4$ 後，乘上對應的機率再加總即可。

面對隨機變數函數的變異數求解，應先令 Y = (X+1)^2，並利用變異數定義公式 Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 解題。計算期望值時，可直接運用無意識統計學家法則（LOTUS），將 X 值代入函數後乘上對應的機率值加總即可，能有效避免代數展開過程中的計算錯誤。