高考申論題 112年 [交通技術] 交通統計

第一題

📖 題組：
五、某縣市政府想分析人口數（十萬人）（X）與延車公里的（百萬公里）（Y）之間的關係。根據過去 10 年的資料，得如下的資料：∑ X = 28，∑ X^2 = 303.4，∑ Y = 75，∑ Y^2 = 598.5，∑ XY = 237。（每小題 10 分，共 30 分）

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

試求迴歸直線 Ŷ = α̂ + β̂ X。

看到迴歸直線求解，首先確認樣本數 (n=10) 與各項總和數據，接著計算離均差平方和與交乘和 (Sxx, Sxy)。最後代入最小平方法 (OLS) 估計量公式，依序計算斜率 β̂ = Sxy / Sxx 與截距 α̂ = Ȳ - β̂X̄，即可得解。

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【解題關鍵】利用最小平方法（OLS）公式求解迴歸係數斜率 β̂ 與截距 α̂。【解答】計算：

試檢定「人口越多，延車公里也越高」的假設（顯著水準為 5%）。

看到「人口越多，延車公里也越高」，應直覺聯想到檢定兩變數間的正向關係，可使用皮爾森相關係數（或簡單線性迴歸斜率）進行右尾假設檢定。解題關鍵在於先算出各離均差平方和（SS_XX、SS_YY、SS_XY），求出樣本相關係數後，再代入 t 統計量公式，與臨界值比較得出結論。

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【解題思路】利用給定數據計算樣本相關係數，並以 t 檢定進行母體相關係數大於 0 的單尾（右尾）檢定。【詳解】已知條件整理：樣本數 $n = 10$，$\alpha = 0.05$。

請闡述上述的關係是否為因果關係？

看到探討變數間是否具有『因果關係』的問題，應立刻聯想到統計學核心觀念：『相關不等於因果』。解題時可先計算相關係數來判斷共變趨勢，接著從因果關係的成立要件（共變性、時間先後、排除干擾變數）與交通實務面切入論述。

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【破題】統計學上，變數間具備「相關性」並不等同於具有「因果關係」。即使由給定資料計算出兩者間的相關趨勢，也僅能說明數量上的共變關係，無法直接斷定為因果關係。【論述】

t分配表(Critical Values of t)