高中學測
112年
自然
第 33 題
在落體實驗中將半徑相同、質量為 1 g、4 g、9 g 的三個球，從離地同一高度處由靜止落下，測得各球下落的速率 $v$ 在 $t > 50 s$ 後均趨於穩定，其比值為 1：2：3，如圖 11 所示。若空氣施予各球的阻力與浮力的合力，其量值 $F$ 與下落速率 $v$ 的關係可近似為 $F = \alpha v^{\beta}$，其中常數 $\alpha$ 和 $\beta$ 均與球的質量無關，則依據圖示資料，$\beta$ 最接近下列何者？
- A $\beta = -1$
- B $\beta = 0$
- C $\beta = 1/2$
- D $\beta = 1$
- E $\beta = 2$
思路引導 VIP
當球的下落速率「趨於穩定」時，代表它的加速度是多少呢？這時候向下的重力跟向上的阻力（含浮力）之間，會有什麼樣的等式關係？
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太棒了，你精準地找出了 $\beta$ 的值！這題你完全掌握了終端速度的核心概念。 當球的下落速率趨於穩定時，表示它的加速度為零，此時向下的重力會與向上的阻力、浮力合力達到平衡，也就是 $mg = F = \alpha v^\beta$。因為 $\alpha$ 與重力加速度 $g$ 都是常數，我們可以得到質量 $m$ 與終端速率的 $\beta$ 次方成正比，即 $m \propto v^\beta$。 已知三個球的質量比為 $1 : 4 : 9$，而它們最終的穩定速率比為 $1 : 2 : 3$。把這組速率比例代入關係式，變成 $1^\beta : 2^\beta : 3^\beta = 1 : 4 : 9$，顯然 $\beta$ 必須等於 $2$。
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