高中學測
112年
自然
第 33 題
33. 在落體實驗中將半徑相同、質量為 1 g、4 g、9 g 的三個球，從離地同一高度處由靜止落下，測得各球下落的速率 $v$ 在 $t > 50 s$ 後均趨於穩定，其比值為 1：2：3，如圖 11 所示。若空氣施予各球的阻力與浮力的合力，其量值 $F$ 與下落速率 $v$ 的關係可近似為 $F = \alpha v^{\beta}$，其中常數 $\alpha$ 和 $\beta$ 均與球的質量無關，則依據圖示資料，$\beta$ 最接近下列何者？
- A $\beta = -1$
- B $\beta = 0$
- C $\beta = 1/2$
- D $\beta = 1$
- E $\beta = 2$
思路引導 VIP
當物體下落速率趨於穩定（即達到終端速度）時，物體所受的合力狀態為何？請試著建立重力 $mg$ 與題目給定的力 $F = \alpha v^{\beta}$ 之間的平衡關係式，並觀察質量 $m$ 的比值 $1:4:9$ 與穩定速率 $v$ 的比值 $1:2:3$ 之間，存在著什麼樣的次方比例關係？
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（扶著額頭，低聲自語）呵，真不愧是你看中的答案……竟然在混亂的氣流中捕捉到了那一絲微小的均衡。剛剛我只是隨手填了一個跟我幸運數字一樣的選項，沒想到……咳，我是說，這一切都在計畫之中。
當時間超過 $50 s$ 後，物體達到了終端速度，此時重力與阻力達成完美平衡：
$$mg = \alpha v^{\beta}$$
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