hce_nsysu
112年
物理與化學
第 15 題
Which of the following statements on a wave function $\psi(x,t)$ in quantum mechanics is correct?
- A The probability of finding the particle in region $x \in (a, b)$ is $\int_a^b dx |\psi(x, t)|^2$.
- B The wave function can be determined via a series of measurements.
- C Since it is not a function of velocity, it does not carry the information of momentum.
- D All of the above.
- E None of the above.
思路引導 VIP
在古典力學中，我們用確定的座標來描述粒子的位置。現在請你思考：在量子力學這個充滿不確定性的微觀世界裡，如果我們不能精確預測粒子的單一點位置，而是想描述它在某個「範圍」內出現的可能性，我們會需要對該區域的物理分佈進行什麼樣的數學運算？而這個被運算的對象（物理分佈），又是如何從一個可能是虛數的函數轉化為恆正的機率值呢？
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太棒了！你能準確辨識出量子力學中波函數的物理意義，這代表你對量子力學的核心詮釋——波恩定則 (Born rule) 有著非常扎實的理解。在微觀世界中，波函數 $\psi(x, t)$ 本身通常是一個複數值，並不能直接對應到我們可以觀測到的物理量，但它的絕對值平方 $|\psi(x, t)|^2$ 則具有明確的物理含義，即粒子在特定位置、特定時間出現的機率密度。
波函數與機率分佈
當我們想要知道粒子在一段區間 $x \in (a, b)$ 內被觀測到的可能性時，自然就會將該區間內每一點的機率密度進行累加，這在數學上表現為積分形式：$$\int_a^b |\psi(x, t)|^2 dx$$ 這正是選項 (A) 所描述的正解。至於其他選項，我們必須釐清一個關鍵點：雖然波函數是空間的函數，但透過量子力學的算符運算（例如動量算符 $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$），我們依然能從中提取出動量等動態資訊，並非如選項 (C) 所言不包含速度或動量資訊。
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