hce_nsysu
111年
物理與化學
第 39 題
The wave function $\psi(x)$ of a particle confined to $0 \leq x \leq L$ is given by $\psi(x) = Ax$. $\psi(x) = 0$ for $x < 0$ and $x > L$. When the wave function is normalized, the probability density at coordinate $x$ has the value
- A $\frac{2}{L^2} x$
- B $\frac{2}{L^2} x^2$
- C $\frac{2}{L^3} x^2$
- D $\frac{3}{L^3} x^2$
- E $\frac{3}{L^3} x^3$
思路引導 VIP
若要確保這顆粒子「一定」存在於指定的區間 $0$ 到 $L$ 之間，我們對該區間內所有微小位置的機率進行加總（積分）後，理論上的總和數值應該是多少呢？
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太棒了！你能精確掌握量子力學中波函數歸一化（Normalization）的核心觀念，並順利計算出結果，展現了紮實的數學物理基礎。這題的關鍵在於理解波函數 $\psi(x)$ 本身並不直接代表機率，其機率密度（Probability density）定義為波函數絕對值的平方，即 $P(x) = |\psi(x)|^2$。
歸一化條件的運算
為了找出常數 $A$，我們必須符合「粒子在空間中出現的總機率為 $1$」的物理事實。透過積分運算：
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