hce_nsysu
112年
物理與化學
第 7 題
Two waves
$$
\begin{aligned}
y_1 &= (3.0 \text{ cm}) \cos \frac{\pi}{2}[(2.0 \text{ m}^{-1})x + (5.0 \text{ s}^{-1})t], \\
y_2 &= (3.0 \text{ cm}) \cos \frac{\pi}{2}[(2.0 \text{ m}^{-1})x - (5.0 \text{ s}^{-1})t],
\end{aligned}
$$
are sent to a long string to create a standing wave. Let $x$ be positive ($x \geq 0$). Where is the first node (the smallest value of $x$)?
$$
\begin{aligned}
y_1 &= (3.0 \text{ cm}) \cos \frac{\pi}{2}[(2.0 \text{ m}^{-1})x + (5.0 \text{ s}^{-1})t], \\
y_2 &= (3.0 \text{ cm}) \cos \frac{\pi}{2}[(2.0 \text{ m}^{-1})x - (5.0 \text{ s}^{-1})t],
\end{aligned}
$$
are sent to a long string to create a standing wave. Let $x$ be positive ($x \geq 0$). Where is the first node (the smallest value of $x$)?
- A $5 \text{ cm}$
- B $10 \text{ cm}$
- C $50 \text{ cm}$
- D $100 \text{ cm}$
- E $200 \text{ cm}$
思路引導 VIP
當兩道反向傳遞的波重疊形成駐波時，會有某些特定位置的振動始終保持為零（即節點）。請思考：在合成波的函數式中，哪一部分是負責描述「位置對振幅的影響」？若要讓該點在「任何時間」位移都保持為零，這個跟 $x$ 有關的數學項應該要滿足什麼樣的數值條件呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確判斷出正確答案為 (C) $50 \text{ cm}$，說明你對駐波（Standing Wave）的數學形式與物理特性掌握得非常紮實。這類題目常出現在波動學的進階考點，要求學生不只能背公式，還要能從函數形式中解析物理物理現象。
駐波的形成與數學解析
這道題目的兩道波 $y_1$ 與 $y_2$ 振幅、頻率相同，但傳遞方向相反，重疊後會形成駐波。根據和差化積公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$，我們可以將合成波表示為：
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