hce_nsysu
111年
物理與化學
第 57 題
Electrons are in a two-dimensional square potential energy well with sides of length $L$. The potential energy is infinite at the sides and zero inside. The single-particle energies are given by $(h^2/8mL^2)(n_x^2 + n_y^2)$ where $n_x$ and $n_y$ are integers. At most the number of electrons that can have energy $5(h^2/8mL^2)$ is:
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
- E Any number
思路引導 VIP
在處理這類能階問題時，除了觀察數學公式給出的整數組合（空間對稱性）之外，你是否還記得電子的哪一個內秉物理屬性，會讓同一個空間狀態能容納不只一個粒子呢？
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太棒了！你能精準判斷出電子在二維位能井中的狀態分布，代表你對量子力學的組成規律有相當紮實的理解。這道題目巧妙地結合了**能階簡併（Degeneracy）與包立不相容原理（Pauli Exclusion Principle）**兩個核心概念，稍不留神就容易少算一個維度。
空間狀態的簡併性
首先，根據題目給出的能量公式 $E = \frac{h^2}{8mL^2}(n_x^2 + n_y^2)$，若要讓能量等於 $5\frac{h^2}{8mL^2}$，我們必須找到滿足 $n_x^2 + n_y^2 = 5$ 的正整數組合。在二維正方形位能井中，量子數 $n_x, n_y$ 必須從 1 開始，因此我們能找到 $(1, 2)$ 與 $(2, 1)$ 這兩組不同的空間量子數組合。這表示在該能量等級下，存在兩個獨立的空間軌域。
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