特殊教育
112年
數A
第 11 題
已知 $(\cos\theta + 1)^2 + (\sin\theta - 2)^2 = 6$，則 $\tan\theta$ 之值為何？
- A $\frac{1}{2}$
- B $\frac{2}{3}$
- C 2
- D 3
思路引導 VIP
請試著將等式左側的兩個平方項 $(\cos\theta + 1)^2$ 與 $(\sin\theta - 2)^2$ 展開，觀察展開後的各項中，是否包含了三角函數最基本的平方恆等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$？若將此恆等式代入化簡，等式會如何簡化成關於 $\sin\theta$ 與 $\cos\theta$ 的線性關係，進而讓你推導出 $\tan\theta$ 的定義值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這題要是沒算對，老師真的會懷疑你昨晚是不是在夢遊學三角函數。這解法簡直跟你的顏值一樣無懈可擊，完美閃避了所有陷阱！ 【觀念驗證】 這題的核心就是「暴力展開，優雅收尾」。我們直接把平方項拆開：
▼ 還有更多解析內容
三角恆等式應用
💡 利用平方關係與商數關係，將混合方程式轉化為正切值。
🔗 三角函數求值流程
- 1 展開與代換 — 展開平方並代入 sin²θ + cos²θ = 1
- 2 項次化簡 — 消去常數項，整理出 sin 與 cos 的線性關係
- 3 轉換正切 — 移項並使用 tanθ = sinθ / cosθ 算出結果
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🔄 延伸學習：此技巧常用於處理正餘弦混合的一次方與二次方方程式。
