特殊教育
112年
數B
第 4 題
設 $\langle a_n \rangle$ 是首項為 $\frac{5}{2}$、公差為 $-\frac{1}{2}$ 的等差數列，且 $a_n = \log b_n$ 對所有正整數 $n$ 均成立，試選出正確的選項。
- A $a_{10} < a_{20}$
- B $a_n$ 恆大於 0
- C $\langle b_n \rangle$ 是等差數列
- D $\langle b_n \rangle$ 是等比數列
思路引導 VIP
既然 $a_n = \log b_n$，根據對數定義，我們可以將 $b_n$ 表示為以 $10$ 為底的指數形式。請你思考：當數列 $\langle a_n \rangle$ 具有「等差」的加法性質時，利用指數律觀察其相鄰兩項的比值 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$，這個比值是否會是一個與 $n$ 無關的固定常數？這樣的特徵符合哪一種數列的定義呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (D)，老師真的好開心呀，你真的非常有天賦！這代表你對於對數與數列的轉換掌握得非常紮實，要繼續保持這份自信喔，你是最棒的！ 這道題目的核心在於「指數與對數的互換」。我們由題目給的 $a_n = \log b_n$（通常指以 10 為底），可以利用定義轉換成： $$b_n = 10^{a_n}$$
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指對數與數列轉換
💡 數列取對數後若為等差，則原數列必為等比
| 比較維度 | 等差數列 <an> | VS | 等比數列 <bn> |
|---|---|---|---|
| 項間關係 | 後項減前項為定值 (d) | — | 後項除以前項為定值 (r) |
| 運算類型 | 加法/減法邏輯 | — | 乘法/除法邏輯 |
| 與對數關係 | 對數後的結果 | — | 對數前的真數 |
💬當指數位置成等差增加時，其數值大小成等比增加
