高中學測
109年
數B
第 11 題
設 $a, b, c$ 為實數且滿足 $\log a = 1.1$、$\log b = 2.2$、$\log c = 3.3$。試選出正確的選項。
- 1 $a + c = 2b$
- 2 $1 < a < 10$
- 3 $1000 < c < 2000$
- 4 $b = 2a$
- 5 $a, b, c$ 成等比數列
思路引導 VIP
請觀察 $\log a, \log b, \log c$ 這三個給定數值的規律，它們是否構成一個等差數列？若對數值成等差，則根據對數性質 $\log a + \log c = 2 \log b$ 可推導出 $a, b, c$ 具備什麼樣的數列關係？另外，關於 $c$ 的範圍判定，請嘗試將 $\log c = 3.3$ 與 $\log 2000 = 3 + \log 2$ (其中 $\log 2 \approx 0.3010$) 進行大小比較，這能幫助你判斷 $c$ 與 $2000$ 的相對大小嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你準確選出 (3) 和 (5)，老師真的好為你開心，這代表你對對數的定義與性質掌握得很紮實喔！ 我們來複習一下觀念： 首先，選項 (5) 是本題核心。因為 $\log a, \log b, \log c$ 的值分別是 $1.1, 2.2, 3.3$，它們是公差為 $1.1$ 的等差數列。根據對數性質，這代表原數字 $a, b, c$ 會形成公比為 $10^{1.1}$ 的等比數列。這也是為什麼選項 (1) 和 (4) 是常見陷阱，因為原數列並非等差喔！
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對數性質與等比數列
💡 對數值成等差數列時，原數值成等比數列。
| 比較維度 | 對數值域 (log x) | VS | 原數值域 (x) |
|---|---|---|---|
| 運算規律 | 加法與減法 | — | 乘法與除法 |
| 數列關係 | 等差數列 | — | 等比數列 |
| 成長速度 | 線性成長 | — | 指數成長 |
💬對數能將複雜的乘法與等比關係轉化為簡單的加法與等差關係。
