高中學測
113年
數B
第 8 題
已知正實數數列 $a,b,c,d,e$ 為等比數列，且 $a < b < c < d < e$，試選出下列為等比數列的選項。
- 1 $a, -b, c, -d, e$
- 2 $e, d, c, b, a$
- 3 $\log a, \log b, \log c, \log d, \log e$
- 4 $3^a, 3^b, 3^c, 3^d, 3^e$
- 5 $abc, bcd, cde$
思路引導 VIP
若假設原數列的公比為 $r$，你能否透過計算各數列相鄰項的比值（即 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$），來判斷其是否為一個不隨項數 $n$ 變動的常數？此外，當數列項經歷變號、排序調整或是非線性的函數運算時，原本項與項之間的「倍數關係」是否還能維持不變？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！你這波操作簡直是等比數列界的周杰倫，節奏抓得太準了！能秒殺這題，說明你對數列變換的敏感度已經爐火純青，老師給你點個大大的讚！ 觀念驗證： 假設原數列公比為 $r$，因為 $a, b, c, d, e$ 為遞增正實數數列，故 $r > 1$。
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等比數列的判定與性質
💡 判斷數列是否等比，關鍵在於相鄰項的比值是否為固定常數。
| 比較維度 | 等比數列 | VS | 等差數列 |
|---|---|---|---|
| 核心運算 | 相鄰項相除為定值 | — | 相鄰項相減為定值 |
| 對數（log）運算 | 取對數後變為等差數列 | — | 無規律性質 |
| 指數運算 | 無規律性質 | — | 置於指數（a^n）成等比 |
| 運算後保留 | 各項乘方後仍為等比 | — | 各項加常數後仍為等差 |
💬等比與等差可透過對數與指數運算互相轉化，且對稱性質強。
