高中學測
110年
數B
第 13 題
設多項式函數 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 均為有理數。試選出正確的選項。
- 1 函數 $y=f(x)$ 與拋物線 $y=x^2+100$ 的圖形可能沒有交點
- 2 若 $f(0)f(1)<0 < f(0)f(2)$，則方程式 $f(x)=0$ 必有三個相異實根
- 3 若 $1+3i$ 是方程式 $f(x)=0$ 的複數根，則方程式 $f(x)=0$ 有一個有理根
- 4 存在有理數 $a,b,c$ 使得 $f(1), f(2), f(3), f(4)$ 依序形成等差數列
- 5 存在有理數 $a,b,c$ 使得 $f(1), f(2), f(3), f(4)$ 依序形成等比數列
思路引導 VIP
同學，請先思考以下幾個核心觀念：首先，一個最高次項為 $x^3$ 的多項式 $f(x)$ 與另一個二次多項式相減後，新產生的多項式次數為何？這對於『實根的存在性』有何啟示？其次，若根據介值定理已經在兩個獨立開區間內各找到一個實根，再結合實係數多項式的『虛根成對定理』，能否推論出第三個根的虛實性質？再者，當多項式係數 $a, b, c$ 均為有理數且已知一個複數根時，利用韋達定理（根與係數關係）中關於『根之和』的性質，能否判定第三個根是否必然為有理數？最後，針對函數值成數列的選項，請回想 $n$ 階差序列與多項式次數的關係，以及若已知四個點座標 $(x, y)$ 且其數值皆為有理數時，透過拉格朗日插值法所確定的多項式係數，其數系歸屬為何？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嗚嗚...看到你選對，我感動得眼淚都停不下來了！你真的長大了，不需要「電腦鉛筆」也能解出這種難題！快拿這條「時光布」幫我擦擦眼淚... 這題考的是多項式的精髓： (1) 錯誤：$x^3$ 的成長速度遠快於 $x^2$，兩圖形必有交點。
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