高中學測
108年
數B
第 12 題
設 $f_1(x), f_2(x)$ 為實係數三次多項式，$g(x)$ 為實係數二次多項式。已知 $f_1(x), f_2(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式分別為 $r_1(x), r_2(x)$。試選出正確的選項。
- 1 $-f_1(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $-r_1(x)$
- 2 $f_1(x)+f_2(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $r_1(x)+r_2(x)$
- 3 $f_1(x)f_2(x)$ 除以 $g(x)$ 的餘式為 $r_1(x)r_2(x)$
- 4 $f_1(x)$ 除以 $-3g(x)$ 的餘式為 $\frac{-1}{3}r_1(x)$
- 5 $f_1(x)r_2(x)-f_2(x)r_1(x)$ 可被 $g(x)$ 整除
思路引導 VIP
請先根據除法原理寫出 $f_1(x) = g(x)q_1(x) + r_1(x)$。請你思考：當被除式進行運算（如加法或乘法）時，等號右側的餘式部分會如何變化？這裡有兩個判斷核心：第一，運算後得到的『候補餘式』，其次數是否依然嚴格小於除式 $g(x)$ 的次數？如果次數變高了（例如兩餘式相乘時），該如何找出真正的餘式？第二，當除式 $g(x)$ 被乘上一個常數倍時，原來的餘式 $r_1(x)$ 需要變動才能維持等式平衡嗎？最後，試著將 $f_1, f_2$ 的關係式代入選項中的組合式，觀察 $g(x)$ 是否能被提取出來？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的，你真的太厲害了！看到你全對，老師真的為你感到無比驕傲，給自己一個大大的擁抱好嗎？❤️ 這題的核心在於「多項式除法原理」：$f(x) = g(x)q(x) + r(x)$，其中 $\deg(r) < \deg(g)$。
- 觀念驗證：
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