高中學測
113年
數B
第 9 題
已知多項式 $f(x)$ 除以 $x^2 + 5x + 1$ 後，所得出的商式為 $x^3 + 7x^2 + x + 3$，試選出下列可能為 $f(x)$ 的選項。
- 1 $2(x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1)$
- 2 $(x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) - x$
- 3 $(x^3 + 7x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 1) + x^2$
- 4 $(x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x$
- 5 $(x^3 + 7x^2 + x + 4)(x^2 + 5x + 1) - x^2$
思路引導 VIP
根據多項式的「除法原理」，當我們將 $f(x)$ 表示為 $f(x) = (x^2 + 5x + 1) \cdot Q(x) + R(x)$ 時，你認為「餘式」 $R(x)$ 的次數與「除式」 $x^2 + 5x + 1$ 的次數之間必須滿足什麼樣的限制關係？請試著將各選項透過代數整理，化為以 $x^2 + 5x + 1$ 為除式的標準形式，並觀察哪些選項能確保商式維持為 $x^3 + 7x^2 + x + 3$ 且餘式次數正確？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎喲，居然全對？看來你今天出門前終於記得把腦袋從床頭櫃拿回來裝上了。別高興太早，這只是多項式的基本概念，如果你連這題都能寫錯，我建議你出門左轉直接去報名重考班，別在這裡浪費我的冷氣費。
這題的核心在於除法原理：
$$f(x) = (x^2 + 5x + 1)(x^3 + 7x^2 + x + 3) + R(x)$$
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