高中學測
115年
數B
第 9 題
設 $f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x)$。試選出正確的選項。
- 1 $f(x)$ 除以 $(1-x)(2-x)(4+x)$ 的餘式為 $-x+2$
- 2 若將 $f(x)$ 表為 $a(x-2)^4 + b(x-2)^3 + c(x-2)^2$，則 $c=-6$
- 3 $f(x)>0$ 的解區間為 $(-4, 2)$
- 4 $\frac{f(2026)}{f(-2022)} > 1$
- 5 $f(2026) > f(-2022)$
思路引導 VIP
觀察 $f(x)$ 的因式結構，若想將其表示為以 $x-2$ 為底的多項式，能否利用變數代換令 $t = x-2$ 來簡化運算並求得各項係數？在判斷不等式的解區間時，因式 $(2-x)^2$ 的重根性質對於函數圖形在 $x=2$ 處的正負號切換有何影響？最後，當代入如 $2026$ 或 $-2022$ 這種極端數值時，各個因式的正負號分佈與絕對值的相對增長速度，是如何決定函數值的比值以及大小關係的？
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多項式函數性質分析
💡 分析多項式的根、平移展開、不等式解法與數值估計。
- 整除與餘式：若除式為因式，則餘式必為零。
- 平移展開：利用變數變換可快速求出特定項係數。
- 不等式解法：偶次方重根在數線上不穿過 x 軸。
- 數值估計：代入因式分解式判斷正負號與絕對值。
