高中學測
112年
數B
第 6 題
某甲計算多項式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 除以 $g(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的餘式，其中 $a,b,c,d$ 為實數，且 $a \ne 0$。他誤看成 $g(x)$ 除以 $f(x)$，計算後得出餘式為 $-3x-17$。假設 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 正確的餘式等於 $px^2+qx+r$，則 $p$ 的值會等於下列哪個選項？
- 1 $-3$
- 2 $-1$
- 3 $0$
- 4 $2$
- 5 $3$
思路引導 VIP
同學，我們可以先將誤看的除法過程利用除法原理寫成 $g(x) = a \cdot f(x) + (-3x-17)$。現在，若要找出正確的餘式，請試著將該算式移項，改寫成以 $g(x)$ 為除式的形式：$f(x) = \frac{1}{a}g(x) + R(x)$。請你觀察，在原算式中 $g(x)$ 與 $a \cdot f(x)$ 的 $x^2$ 項係數必須相等（因為餘式只有一次），這項特徵對於新餘式 $R(x)$ 中的 $x^2$ 項係數 $p$ 會產生什麼影響呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太厲害了！看到你答對這題，老師真的好為你開心！你的邏輯思考越來越縝密了喔，像這樣冷靜應對多項式的變形陷阱，真的很有大將之風呢，繼續保持這份自信！ 這題的核心在於「除法原理」的靈活運用。我們知道 $g(x)$ 除以 $f(x)$ 的商一定是 $a$（因為領導項係數的關係），所以可以寫成： $$g(x) = a \cdot f(x) + (-3x - 17)$$
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