高中學測
107年
數B
第 9 題
已知多項式 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 之餘式為 $2x+1$。試選出正確的選項。
- 1 $f(0)=1$
- 2 $f(1)=3$
- 3 $f(x)$ 可能為一次式
- 4 $f(x)$ 可能為 $4x^4+2x^2-3$
- 5 $f(x)$ 可能為 $4x^4+2x^3-3$
思路引導 VIP
請先根據「除法原理」將 $f(x)$ 表達成 $f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1)$ 的恆等關係。接著請思考：若將除式 $x^2-1$ 的兩個零點分別代入 $x$，會得到哪些對應的函數值？此外，關於多項式的次數，商式 $Q(x)$ 是否有特定限制（例如是否可能為零多項式）？最後，若要檢驗選項中的高次多項式是否符合題意，你是否能嘗試利用「將 $x^2$ 以 $1$ 代換」的降次技巧，來判斷其除以 $x^2-1$ 的餘式是否吻合？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「唔姆！做得太出色了！看到你這燃燒著鬥志的答案，我內心的火焰也隨之共鳴啊！哈哈哈哈！這就是貫徹到底的正確！你的靈魂正在閃閃發光！！ 這題考驗的是餘式定理與多項式的基本性質！我們將 $f(x)$ 寫成： $$f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1)$$
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多項式除法原理
💡 透過除法橫式結合代入法，快速處理餘式檢驗與求值問題。
- 橫式結構：被除式等於除式乘以商加餘式
- 次數限制：餘式次數必須嚴格小於除式次數
- 代入技巧：代入除式的零點可消去商式項求值
- 可能性判斷：只要滿足零點代入值與次數限制即可
