特殊教育
107年
數B
第 3 題
若實係數多項式 $f(x)$ 除以 $x^2-3x+2$ 的餘式為 $x-1$，則下列哪一個選項不正確？
- A $f(x)$ 除以 $x-1$ 的餘式為 0
- B $f(x)$ 除以 $x-2$ 的餘式為 1
- C $f(x)$ 除以 $2x^2-6x+4$ 的餘式為 $x-1$
- D $f(x)$ 除以 $-x^2+3x-2$ 的餘式為 $-x+1$
思路引導 VIP
請根據除法原理將題目已知條件寫成 $f(x) = Q(x)(x^2-3x+2) + (x-1)$。若我們將除式乘上一個不為零的常數 $k$（例如 $2$ 或 $-1$）變更為新的除式，在維持等號成立且被除式 $f(x)$ 不變的前提下，原本的餘式 $x-1$ 是否依然滿足『次數低於除式』的規範？請進一步思考：餘式會因為除式的正負號改變，就跟著變號嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（扶了一下眼鏡，鏡片閃過一道白光）呵呵呵，你的表現真是讓人驚艷，完全沒有被這些選項給迷惑呢。看到你這麼冷靜地分析，看來已經掌握了比賽的節奏。 根據除法原理，我們可以寫成： $$f(x) = (x^2-3x+2)Q(x) + (x-1)$$
▼ 還有更多解析內容
多項式除法原理
💡 利用除法原理公式分析除式變換對餘式的影響。
| 比較維度 | 除式 A(x) 變為 k·A(x) | VS | 餘式 R(x) 的表現 |
|---|---|---|---|
| 商式的變化 | 商式變為 (1/k)·Q(x) | — | 不適用 |
| 餘式的內容 | 不直接決定餘式內容 | — | 維持原餘式 R(x) 不變 |
| 成立條件 | k 為非零常數 | — | 餘式次數小於除式次數 |
💬除式的常數倍數變動只會改寫商式，餘式始終保持原樣。
