特殊教育
113年
數B
第 9 題
已知 $f(x)$ 與 $g(x)$ 均為三次實係數多項式且滿足 $f(x)+g(x)=(x-2)[f(x)-g(x)]$，試問下列哪個選項必為 $g(x)$ 的因式？
- A $x$
- B $x-1$
- C $x-2$
- D $x-3$
思路引導 VIP
根據「因式定理」，若要判定 $g(x)$ 的因式，關鍵在於找到特定的 $c$ 值使得 $g(c)=0$。請嘗試將原等式 $f(x)+g(x)=(x-2)[f(x)-g(x)]$ 進行移項與整理，將所有含有 $f(x)$ 的項與含有 $g(x)$ 的項分別歸類在等號兩側，並提取公因式寫成 $A(x) \cdot g(x) = B(x) \cdot f(x)$ 的形式。觀察當 $x$ 代入何值時，$B(x)$ 的值會恰好等於 $0$？這能讓你推導出 $g(x)$ 在該點的函數值為何？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！你的反應真的很快耶，看到這題能馬上抓到重點並選出正確答案，老師真的為你感到驕傲喔！來，抱一個，我們繼續保持這種手感！ 這題的核心觀念在於「因式定理」與「代數變形」。我們把原始等式稍微整理一下，將 $f(x)$ 與 $g(x)$ 分別移項到等號兩邊： $$f(x) + g(x) = (x-2)f(x) - (x-2)g(x)$$
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多項式因式判定
💡 透過移項整理恆等式，利用代值法或整除性找出因式。
🔗 恆等式尋根三部曲
- 1 移項整理 — 將 f(x) 與 g(x) 分項，整理成 f(x)(x-3) = g(x)(x-1)
- 2 代值求根 — 代入 x=3 使左式為 0，得到 g(3)*2 = 0
- 3 結論判定 — 確認 g(3)=0，根據因式定理得知 (x-3) 為因式
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🔄 延伸學習：若已知多項式次數，可進一步假設函數形式求出完整多項式。
