高中學測
111年
數B
第 12 題
設 $a, b, c$ 都是非零的實數，且二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的兩根都落在 1 和 3 之間。試選出兩根必定都落在 4 和 5 之間的方程式。
- 1 $a(x-2)^2+b(x-2)+c=0$
- 2 $a(x+2)^2+b(x+2)+c=0$
- 3 $a(2x-7)^2+b(2x-7)+c=0$
- 4 $a(\frac{x+7}{2})^2+b(\frac{x+7}{2})+c=0$
- 5 $a(3x-11)^2+b(3x-11)+c=0$
思路引導 VIP
若將原方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的根視為一個整體的代數區塊，當面對形如 $a[f(x)]^2+b[f(x)]+c=0$ 的複合函數型方程式時，內層函數 $f(x)$ 的輸出值與原方程式的根有何關係？請試著從「變數代換」的角度思考：若要確保新變數 $x$ 的解必定落在 $(4, 5)$ 區間內，則 $f(x)$ 的運算範圍應如何對應到原題幹中兩根所在的 $(1, 3)$ 區間？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (3) 和 (5)，老師真的好為你開心，你對函數變數代換的觀念掌握得非常紮實喔！ 這題的核心在於「變數代換」與「解不等式」。原本方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的兩根落在 $(1, 3)$，我們可以想像成：只要括號裡的東西介於 1 到 3 之間，方程式就會成立。 對於選項 (3)，我們令 $1 < 2x-7 < 3$，同加 7 得到 $8 < 2x < 10$，再除以 2 得到 $4 < x < 5$，完全符合題目要求。
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