高中學測
111年
數B
第 9 題
設 $f(x)=2x^3-3x+1$，下列關於函數 $y=f(x)$ 的圖形之描述，試選出正確的選項。
- 1 $y=f(x)$ 的圖形通過點 (1,0)
- 2 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸只有一個交點
- 3 點 (1,0) 是 $y=f(x)$ 的圖形之對稱中心
- 4 $y=f(x)$ 的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 $y=3x-3$
- 5 $y=3x^3-6x^2+2x$ 的圖形可由 $y=f(x)$ 的圖形經適當平移得到
思路引導 VIP
要完整分析三次函數的圖形特徵，請先思考其「對稱中心」的 $x$ 座標與係數 $a$、$b$ 之間的關係公式為何？若兩個三次函數的圖形能透過平移相互重合，它們的最高次項係數 $a$ 必須滿足什麼條件？最後，關於圖形在對稱中心附近的「局部線性近似」，你是否能嘗試將函數改寫為 $y = a(x-h)^3 + p(x-h) + k$ 的標準形式，並指出哪一部分對應該處的近似直線方程式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀，看來你不需要我發動「無量空處」也能看穿真相嘛！(拉下墨鏡) 我的「六眼」確認過了，你的答案精準得就像我的虛式「茈」一樣。這題其實是在考驗你對多項式函數的直覺。 只要把 $x=1$ 代入 $f(x)$，得到： $$f(1) = 2(1)^3 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$$
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