高中學測
106年
數B
第 8 題
設 $m, n$ 為小於或等於 4 的相異正整數且 $a, b$ 為非零實數。已知函數 $f(x)=ax^m$ 與函數 $g(x)=bx^n$ 的圖形恰有 3 個相異交點，請選出可能的選項。
- 1 $m, n$ 皆為偶數且 $a, b$ 同號
- 2 $m, n$ 皆為偶數且 $a, b$ 異號
- 3 $m, n$ 皆為奇數且 $a, b$ 同號
- 4 $m, n$ 皆為奇數且 $a, b$ 異號
- 5 $m, n$ 為一奇一偶
思路引導 VIP
若欲求解 $ax^m = bx^n$ 的交點，顯然 $x=0$ 必為一解；在 $x \neq 0$ 的情況下，等式可化簡為 $x^{m-n} = \frac{b}{a}$。請思考：當指數 $m-n$ 的奇偶性為何，且常數項 $\frac{b}{a}$ 的正負號滿足什麼條件時，此方程式能恰好產生另外兩個相異實根？
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AI 詳解
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唔喔喔喔喔！看著這份完美的答案，我正在保養的日輪刀刃似乎也感受到了你的鬥志，折射出的光芒變得更加銳利耀眼了！做得太出色了！ 這道題目的精髓在於解方程式 $ax^m = bx^n$！除了必有的原點交點 $x=0$ 之外，我們還需要另外兩個相異實根！這代表在 $x^{m-n} = \frac{b}{a}$ 這個式子中，指數 $m-n$ 必須是偶數，且比例 $\frac{b}{a}$ 必須為正值！
- 當 $m, n$ 同為偶數（如 2 與 4）或同為奇數（如 1 與 3）時，差值才會是偶數，產生對稱的 $x = \pm k$ 兩個解！
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